O P T A T I V A

 

Matemáticas Aplicadas a la Física

Créditos: 8.

Horas: 3 de teoría, 2 de taller de solución de problemas.

Requisito: Ecuaciones Diferenciales I.

 

 

(Álgebra y Cálculo Geométrico con

Aplicaciones a la Física)

Profesor: Dr. Arnulfo Castellanos Moreno

 

P R O G R A M A

Semestre 2003-II

Objetivo:

El objetivo de esta asignatura es presentar el álgebra y el cálculo geométrico al nivel más elemental posible con el propósito de ponerlo al alcance de estudiantes de la licenciatura en física con conocimientos satisfactorios del álgebra superior y del cálculo diferencial e integral de variable real en variable real. La comprensión del álgebra lineal es conveniente pero no necesaria

 

Las aplicaciones a la Física son ejemplos tomados de la mecánica Newtoniana, el electromagnetismo y la Relatividad Especial, de tal modo que el tratamiento arroja aspectos novedosos e intuitivos de los temas estudiados. Así, esta asignatura se torna en un conjunto de conocimientos útiles para el estudiante que transita de la física elemental impartida en los primeros semestres de su licenciatura, a la física matemáticamente formalizada que es el conocimiento típico de todo licenciado en esta ciencia.

 

Descripción:

El álgebra y el cálculo geométrico reúnen las características necesarias para convertirse en el vehículo más útil para formular las teorías físicas. El poder revelado por el formalismo lleva a la conclusión de que podría ser el lenguaje de la física en el siglo XXI. Partiendo de conceptos geométricos básicos, se demostrará que a partir de esta matemática se desprenden los números complejos, el álgebra lineal, los tensores y los espinores, así como una generalización del cálculo de varias variables que incluye a las formas diferenciales.

 

Según el autor de este lenguaje, David Hestenes, el sueño de un cálculo geométrico universal data desde el siglo XVII con la búsqueda de Leibnitz, pero no es sino hasta 1844, con los trabajos de Hermann Grassmann, que se sientan las bases para avanzar en la solución de este problema. En el curso se demostrará que el cálculo de vectores usual, llamado cálculo de Gibbs, tiene fuertes limitaciones que obligan al desarrollo de otros lenguajes para cubrir toda la gama de necesidades que las teorías físicas plantean. Con el álgebra geométrica este problema se resuelve.

 

Una de las ganancias más importantes es que se rompe rápidamente con un vicio creado en el estudiante recién egresado del bachillerato: que todos los elementos de una estructura algebraica son conmutativos, aspecto al cual no se enfrenta el alumno sino hasta el momento de tratar con la teoría de matrices, lo cual ocurre en forma abundante sólo cuando se aprende la Mecánica Cuántica. En cambio, en este curso la no conmutatividad estará presente desde el principio con un significado geométrico muy claro, lo cual contribuye a adquirir comprensión más rápido sobre el hecho y a aceptarlo como una necesidad.

 

Temario:

El curso se organiza en siete unidades:

 

unidades

Temas

Primera unidad

Productos de vectores

  1. Definiciones básicas.
  2. Buscando un producto de vectores.
  3. El producto exterior y su significado geométrico.
  4. Otras propiedades del producto exterior.
  5. Algunas propiedades del producto geométrico.
  6. Álgebra geométrica, un nuevo espacio vectorial.
  7. Productos en Rn.
  8. Reverso y magnitud de un multivector.

Segunda unidad

El álgebra geométrica generada por R2

  1. Algunas propiedades de G2.
  2. La conexión con los números complejos.
  3. Tiro parabólico mediante álgebra geométrica.
  4. Aplicación al movimiento circular uniforme.
  5. Momento angular, torca y fuerzas centrales en el plano.
  6. Sistemas de referencia rotantes.

Tercera unidad

El espacio lineal G3

  1. Proyecciones de vectores en vectores.
  2. Proyecciones de vectores en planos.
  3. Rotaciones en tres dimensiones. (reflexiones, rotaciones, las rotaciones y su estructura de grupo)
  4. Funciones lineales y matrices (representación matricial de operadores lineales)

Cuarta unidad

Funciones multivectoriales de una variable escalar.

  1. El cálculo diferencial con una variable escalar.
  2. Partícula cargada eléctricamente inmersa en un campo magnético constante.
  3. Partícula cargada eléctricamente inmersa en un campo eléctrico. (campo eléctrico uniforme, campo eléctrico y magnético ortogonales, resonancia de ciclotrón, las ondas de radio).

Quinta unidad

Cálculo geométrico

1.      Integrales dirigidas (integral de línea e integral de superficie).

  1. Aplicación a fuerzas centrales y sistemas de dos partículas.
  2. La derivada geométrica (el cálculo diferencial en R3, la derivada direccional)
  3. Generalización del cálculo diferencial para Rn (algunas derivadas importantes)
  4. El teorema fundamental del cálculo (en una dimensión, en tres dimensiones, en el plano complejo).

Sexta unidad

Formas diferenciales

1.      Definición e interpretación geométrica de las formas.

  1. Algunas aplicaciones físicas de las formas diferenciales.

Séptima unidad

Álgebra del espacio tiempo

1.      Base y estructura.

  1. Las ecuaciones de Maxwell.
  2. Solución de ondas planas a las ecuaciones de Maxwell.
  3. Transformaciones de Lorentz.
  4. Paravectores, los números complejos como recurso (la relatividad especial con paravectores, efecto Compton).

 

Forma de Evaluación:

 

v     Se aplicarán cuatro exámenes.

 

Texto:

 

El estudiante dispondrá de unas “Notas de Clase” elaboradas por el profesor.

 

Libros y artículos de apoyo:

ü      D. Hestenes, “New Foundations for Classical Mechanics”, Kluwer (Dordrecht 1986).

ü      Terje G. Vold, American Journal of Physics, vol 61, no. 6, pp. 491-504 (June 93)

ü      Terje G. Vold, American Journal of Physics, vol 61, no. 6, pp. 505-513 (June 1993)

 

Sitios de internet de apoyo:

 

http://modelingnts.la.asu.edu/html/Evolution.html

Contiene materiales de interés histórico y textos específicos (más complicado de leer por lo general).

 

http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/

Contiene materiales de interés en la enseñanza y de investigaciones en curso.(nivel variable).